Logika a význam II – Paradox holiče

rubrika: Filosofický koutek


Odložme jurodivé povídání a podobně vzletné rozjímání, už se toho tady nakupilo až kriticky moc, a pojďme se opět věnovat čistě filosofické logice. První část této série byla věnována formám úsudku, druhá část se zaměří na jeden z nejvážnějších logických paradoxů, který otřásl základy matematiky a jenž se dá připodobnit k Paradoxu holiče.

 

Lucifer


Ve vesnici žije holič, který holí právě ty lidi, kteří se neholí sami. Kdo tedy holí holiče samého? Holí-li se sám, neholí se; neholí-li se sám, holí se.

 

Na první pohled se hádanka, která tvoří jádro paradoxu holiče, nezdá být tvrdým oříškem pro zkoumání. Úvaha sice na první pohled vypadá přijatelně, ale upadá rychle do sporu. Zdánlivě nevinný popis práce (člověk, „který holí právě ty lidi, kteří se neholí sami“) je ve skutečnosti logicky nemožný, protože holič sám nemůže patřit ani do skupiny těch, kdo se holí sami, ani do skupiny těch, kdo se sami neholí, aniž by se ocitl ve sporu s popisem své práce. Člověk odpovídající holičově popisu (logicky) nemůže existovat. Takový holič tedy neexistuje: paradox vyřešen.

 

Význam paradoxu holiče ve skutečnosti netkví v jeho obsahu, nýbrž v jeho formě. Svou strukturou je tento paradox podobný jinému, významnějšímu paradoxu, známému jako Russellův paradox, který se netýká hladce oholených vesničanů, nýbrž matematických množin a jejich prvků. Tento příbuzný paradox se ukázal být mnohem nesnadnější látkou k řešení; vlastně není přehnané říci, že byl před sto lety zodpovědný za podkopání samotných základů matematiky.

 

Koncept množin má zásadní význam pro matematiku, protože množiny jsou formálně nejčistšími předměty spadajícími do oboru jejího zkoumání. K metodě matematiky patří definice skupin (množin) prvků splňujících určitá kritéria, jako například množiny všech reálných čísel větších než jedna nebo množiny prvočísel; a s těmi se pak provádějí operace umožňující deduktivně vyvodit další vlastnosti prvků, které dotyčná množina (či množiny) obsahuje. Z hlediska filosofie jsou množiny zvláště zajímavé, protože zjištění, že veškerou matematiku (čísla, relace, funkce) lze vyčerpávajícím způsobem formulovat v rámci teorie množin, podnítilo ambice použít množiny k založení matematiky na čistě logických základech.

 

Na počátku 20. století se německý matematik Gottlob Frege pokusil definovat celou aritmetiku pomocí logických pojmů za použité teorie množin. V té době se předpokládalo, že neexistují žádná omezení na podmínky, které lze použít k definici množin. Jádrem problému, který tu rozpoznal britský filosof Bertrand Russell v roce 1901, byla otázka, zda může být množina svým vlastním prvkem. Některé množiny mají sebe sama za prvek: například množina matematických objektů je sama matematickým objektem. Jiné ne: množina prvočísel sama prvočíslem není. Nyní uvažme množinu všech množin, které nejsou svým vlastním prvkem. Je tato množina svým vlastním prvkem? Jestliže je, pak není; a jestliže není, pak je. Jinými slovy, být prvkem této množiny závisí na tom, nebýt prvkem této množiny. Přímočarý spor, a tedy paradox (holičského typu). Nicméně oproti holičovu případu se oné nepohodlné množiny nelze zbavit jen tak jednoduše – v každém případě ne bez toho, aby to udělalo díru do teorie množin, jak byla tehdy chápána.

 

Přítomnost sporu v samém srdci teorie množin, odhalená Russellovým paradoxem, ukázala, že matematická definice množin a nakládání s nimi bylo od základů chybné. Vzhledem k tomu, že na základě sporu lze (v logice) dokázat jakoukoli větu, vyplývá z toho katastrofální důsledek, že si nemůžeme být jisti platností ani jednoho důkazu, i když třeba není neplatný nutně. Matematiku prostě bylo třeba znovu vybudovat od základů. Klíč k řešení spočíval v zavedení příslušných omezení pro principy, jimiž se řídí příslušnost prvků do množin. Russell nejenže odhalil problém teorie, ale byl také první, kdo se ho pokusil vyřešit, a i když byl jeho pokus úspěšný jen zčásti, pomohl navést ostatní na správnou cestu.

 

Problém „self-reference“ (odkazování na sebe sama), který je jádrem paradoxu holiče i Russellova paradoxu, je společným rysem také mnoha dalších dobře známých filosofických hádanek. Patrně nejznámější je takzvaný „paradox lháře“, jehož původ sahá údajně až do 7. století př. n. l., kdy Řek Epimenidés – sám Kréťan – prý prohlásil „Všichni Kréťané jsou lháři“. Nejjednodušší variantou téhož paradoxu je věta „Tato věta je nepravdivá“, která je nepravdivá, když je pravdivá, a pravdivá, když je nepravdivá. Paradox lze předvést pomocí dvojice vět: na jednu stranu papíru napíšeme – „Věta na druhé straně je nepravdivá“; a na druhou – „Věta na druhé straně je pravdivá“. V této podobě je každá z vět sama o sobě nenapadnutelná, takže paradox lze jen těžko odbýt jako jednoduše nesmyslný, jak někteří navrhovali.

 

Filosofické argumenty jsou často složité, a tak je musíme formulovat s velkou přesností. Někdy se filosofové nechali trochu unést velkolepostí svého intelektu a ve snaze sledovat jejich argumenty si můžeme připadat, jako bychom se brodili melasou. Pokud jste měli dojem, že pravidla kriketu jsou složitá na pochopení, vyzkoušejte si, zda udržíte krok s úvahami Bertranda Russella, když definuje „číslo příslušející třídě“ (její mohutnost):

 

Metodou je zde definovat jako číslo příslušející nějaké třídě třídu všech tříd podobných dané třídě. Být prvkem této třídy tříd (což se chápe jako predikát) je společnou vlastností všech podobných tříd a žádných jiných; navíc každá třída z množiny podobných tříd má k této množině takový vztah, který nemá k ničemu jinému a který má každá třída ke své vlastní množině. Tyto podmínky jsou tedy v úplnosti splňovány touto třídou tříd, jejíž předností je, že je zcela určitá pro jednu danou třídu, ale liší se pro dvě třídy, které si nejsou podobné. Toto je tedy nenapadnutelná definice čísla příslušejícího třídě formulovaná pomocí čistě logických pojmů.

 

Zdroj: Ben Dupré, Filosofie – 50 myšlenek, které musíte znát


komentářů: 11         



Komentáře (11)


Vložení nového příspěvku
Jméno
E-mail  (není povinné)
Název  (není povinné)
Příspěvek 
PlačícíÚžasnýKřičícíMrkajícíNerozhodnýS vyplazeným jazykemPřekvapenýUsmívající seMlčícíJe na prachySmějící seLíbajícíNevinnýZamračenýŠlápnul vedleRozpačitýOspalýAhojZamilovaný
Kontrolní kód_   

« strana 1 »

Lucifer
11
Lucifer * 23.01.2014, 22:05:38
Stello, po půlnoci se to vyjasní.

10
xxx (neregistrovaný) 23.01.2014, 21:30:26
Tak to je velmi osobitá metamorfóza. Bylo vám, Lucifere, zima ? V té nové podobě?

Lucifer
9
Lucifer * 23.01.2014, 20:35:08
Dobré ráno, konečně se mi podařilo probrat se ze včerejších mrákot, zdálo se mi o mrožovi, tím mrožem jsem byl já, takže se mi vlastně zdálo o sobě, no nekupte to...

Tady je originál o Zuzaně od Asonance

http://www.youtube.com/watch?v=3pq09kDWQa0

S vyplazeným jazykem

8 Pink Floyd - Live
mefi (neregistrovaný) 23.01.2014, 11:10:08

For us nonstupid imagination, Pink Floyd for the others...

http://youtu.be/xVQTKSWULu8 Mrkající

rezy
7
rezy * 23.01.2014, 10:26:08
. Být prvkem této třídy tříd (což se chápe jako predikát) je společnou vlastností všech podobných tříd a žádných jiných; navíc každá třída z množiny podobných tříd má k této množině takový vztah, který nemá k ničemu jinému a který má každá třída ke své vlastní množině.

Myslím, že tyhle formulace jsou skutečně zbytečně složité, v OOP je mluví o dědičnosti a vlastně se tu říká, že potomek má k rodičovské třídě vztah potomka.

Stella
6
Stella 23.01.2014, 08:57:25
Přesnost filozofických argumentů! Smějící se

Lucifer
5 Čertí námluvy
Lucifer * 23.01.2014, 02:09:34
http://www.youtube.com/watch?v=zK2mAaG3XMo

Dobré čtvrteční ráno. Úžasný

Lucifer
4
Lucifer * 23.01.2014, 01:33:31
mefi, myslíš tuhle Zuzanu?

http://www.youtube.com/watch?v=bunDhFmlUCA

Nevinný Nevinný Nevinný

3 Jak poznáme matfyzáka?
mefi (neregistrovaný) 23.01.2014, 00:50:30

Ono nejen matematika také často zajímá, zda množina je také spočetná:

http://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_set

respektive

http://wiki.matfyz.cz/index.php?title=St%C3%A1tnice_-_Rekurzivn%C3%AD_a_rekurzivn%C4%9B_spo%C4%8Detn%C3%A9_mno%C5%BEiny

Raději ale utečme do světa múz, neb tohle není fórum matfyzu:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/general/matfyzak.htm

A hledejme inspiraci nejen v muzice:

http://gen.lib.rus.ec/get?md5=0D752D3C0AD343E39463695172CC88A4&open=0


Či dokonce jenom a jenom v muzice:

Waldemar Matuška - Písnička pro Zuzanu

http://youtu.be/Xd1ntCjLB1M


Mrkající



Lucifer
2
Lucifer * 23.01.2014, 00:37:22
Inu, mefi, zatím jsem se neodhodlal Growing Down. Nevinný

1 And Lucifer is Growing up...
mefi (neregistrovaný) 23.01.2014, 00:26:41

Peter Gabriel - Growing Up

http://youtu.be/UfBgAq0sQ1s

Usmívající se

«     1     »