V pavučině sítí - v říši náhody II

rubrika: Populárně naučný koutek


V pavučině sítí - v říši náhody I jsme se seznámili s Eulerem, který stál u základů teorie sítí, ve druhé části přicházejí na scénu dva skvělí maďarští matematici Pál Erdős (křestní jméno se někdy uvádí jako Paul) a Alfréd Rényi, kteří položili základy teorie náhodných sítí. Pojďme se nejdříve seznámit s Paulem Erdősim, geniálním matematikem, který nikdy neměl víc majetku, než jen trochu šatstva, která se mu vešla do malého koženého kufříku.

Lucifer


Jednoho odpoledne na sklonku dvacátých let 20. století kluše ulicemi Budapešti sedmnáctiletý mladík s výstředním držením těla a zastaví se před módním obchodem s obuví, kde se prodávají boty šité na míru. Se svou nohou neobvyklého tvaru, na niž žádné normální boty nepadnou, by skutečně mohl vzít zavděk ševcem. On ale nepřišel kvůli novým botám. Poté co zaklepal na dveře obchodu - což vypadalo stejně podivně tehdy jako dnes - vstoupil, minul bez povšimnutí prodavačku za pultem a šinul si to za čtrnáctiletým chlapcem v zadní části obchodu.

"Řekni čtyřciferné číslo," vybafl na něj.
"2 532," vyhrkl chlapec, civěje na podivného návštěvníka. Ten ho však nenechal zírat příliš dlouho.
"Jeho druhá mocnina je 6 411 024", pokračoval. "Promiň, ale stárnu a třetí mocninu ti říct nedokážu. Kolik znáš důkazů Pythagorovy věty?"
"Jeden," odvětil chlapec.
"Já jich znám třicet sedm," řekl bez oddechu a pokračoval. "Věděl jsi, že body úsečky netvoří spočetnou množinu?" Poté co pozornému chlapci vyložil Cantorův důkaz, zakončil návštěvu slovy "Už musím běžet", otočil se na podpatku a pádil z krámu pryč.

Paul Erdős pádil ke své budoucnosti vůdčího génia a člověka, který se naprosto nehodil do 20. století. (Poznámka: Když tak koukám kolem sebe, tak mě napadá, že alespoň zatím by se nehodil ani do 21. století.) Do své smrti v roce 1996 napsal více než 1 500 matematických článků. Mezi těmito výsledky, které svým objemem nemají obdoby od Eulerových časů, je osm článků, které publikoval společně s dalším maďarským matematikem, Alfrédem Rényim. Těchto osm článků se poprvé v historii zabývalo stěžejní otázkou našeho vzájemně provázaného světa, otázkou, jak vůbec vznikají sítě. Řešení v nich obsažené položilo základy teorie náhodných sítí. Tato elegantní teorie ovlivnila natolik hluboce naše myšlení o sítích, že se z jejího objetí ještě stále vymaňujeme.

Představte si, že pořádáte večírek pro sto hostů, které jste si vybrali a pozvali právě proto, že žádný z nich nikoho dalšího z pozvaných nezná. Nabídněte této skupině neznámých lidí víno a něco k zakousnutí, a oni si okamžitě začnou povídat, protože vrozená touha setkávat se a poznávat jeden druhého je nutně svede dohromady. Společnost se brzy rozpadne na třicet až čtyřicet skupinek po dvou či po třech. V té chvíli zkuste utrousit před jedním z hostů, že to červené víno v neoznačených tmavozelených lahvích je vzácné dvacetileté prvotřídní portské, mnohem lepší než to s tou červenou etiketou. Zároveň ho ale požádejte, aby to neříkal nikomu jinému než svým novým blízkým známým. Víte, že vaše drahé portské je docela v bezpečí, protože dotyčný návštěvník neměl čas se seznámit s více než dvěma či třemi lidmi v místnosti.

Hosty však nevyhnutelně začne nudit bavit se příliš dlouho s týmž člověkem, takže se budou přesouvat od jedné skupiny ke druhé. Mezi lidmi, kteří se potkali už dříve, ale teď patří k různým skupinkám, se vytvořily neviditelné sociální vazby. V důsledku toho začínají osoby, které stále ještě navzájem neznají, spojovat komplikované řetězce. Postupem času budou hosté čím dál víc opřádáni těmito nehmotnými vlákny sociálních vazeb a tak vznikne mezi značnou částí hostů jemná pavučina známostí. Jak zvěst o vzácném víně, známá předtím jen nepatrné skupině znalců, proniká k dalším a dalším diskutujícím hloučkům, dostává se víno do stále většího ohrožení.

Budeme-li předpokládat, že každý z hostů předá informaci každému ze svých nových známých, dostane se zvěst o výtečném portském ke všem hostům ještě před koncem večírku? Paul Erdős a Alfréde Rényi na to odpověděli často citovaným teorémem: Jestliže se každá osoba seznámí nejméně s jedním dalším hostem, pak brzy budou všichni pít vzácné portské. Podle Erdőse a Rényiho postačí jen třicet minut, než se vytvoří jediná neviditelná sociální pavučina, zahrnující všechny hosty v místnosti, a pár minut poté, co vám někdo to víno doporučí, už možná budete do své přichystané sklenky vylévat poslední kapky z prázdné láhve.

Hosté na našem večírku souvisejí s problémem teorie grafů, odvětvím matematiky, u jehož zrodu stál Euler. Hosté jsou uzly a jejich vzájemná setkání vytvářejí sociální vazby neboli vlákna (hrany - tento pojem však už používat nebudu, viz první část). Vzniká tedy pavučina známostí, graf, v němž je skupina uzlů spojena vlákny. Počítače propojené síťovými kabely, molekuly v našem těle spojené navzájem prostřednictvím biochemických reakcí, firmy a zákazníci spojení obchodem, nervové buňky spojené axony, ostrovy propojené mosty, to vše jsou příklady grafů. Ať je identita a podstata uzlů a vláken jakákoli, pro matematika je to stále stejná písnička: jde o graf či síť.

Zjednodušení všech reálných sítí na grafy nás přes svou eleganci staví před obrovské problémy. Ačkoli lidská společnost, internet, buňka či mozek mohou být stejně dobře reprezentovány pomocí grafů, rozhodně se navzájem velmi liší. Je těžké si představit, v čem se shoduje lidská společnost, kde se navazují přátelství a známosti kombinací náhodných setkání a uvážených rozhodnutí, s buňkou, v níž veškeré reakce mezi molekulami řídí nemilosrdné zákony chemie a fyziky. Musí existovat jasný rozdíl mezi pravidly, podle nichž se rozmisťují vazby v různých sítích, s nimiž se setkáváme v přírodě. Najít model, který by popisoval všechny takovéto systémy, se navenek jeví jako nepřekonatelný problém.

Erdős a Rényi se do řešení této otázky pustili a navrhli elegantní matematickou odpověď, která by popisovala všechny složité grafy v rámci jednoho schématu. Právě proto, že se rozličné systémy při budování svých sítí řídí velmi odlišnými pravidly, Erdős a Rényi tuto rozmanitost zanedbali a přišli s nejjednodušším řešením, které by mohla příroda použít: spojovat uzly náhodně. Rozhodli se, že nejjednodušší způsob, jak vytvořit síť, je házet kostkou. Pravidlo zní takto: Vyber dva uzly, a když ti padne šestka, spoj je vláknem. Když ti padne cokoli jiného, uzly nespojuj. Pak si zvol další dvojici uzlů a pokračuj. Erdős s Rényim tedy viděli grafy a svět, který reprezentují, jako zásadně náhodné.

Erdősovi se zdála být teorie náhodných grafů tak elegantní a jednoduchá, že ji považoval za věčnou pravdu. Dnes však už víme, že náhodné sítě hrají při stavbě našeho světa jen nepatrnou roli. Příroda se místo toho uchýlila k několika málo základním zákonitostem, které jsou odhaleny v dalších kapitolách této knížky. Sám Erdős byl tvůrcem matematických pravd a autorem alternativního pohledu na náš svět, vtěleného do teorie náhodných grafů. Jelikož neznal přírodní zákony řídící stavbu mozku či lidské společnosti, udělal Erdős ten nejlepší možný odhad: předpokládal, že se Bůh baví hrou v kostky. To jeho princetonský přítel Albert Einstein měl opačný názor: "Bůh nehraje s vesmírem v kostky," říkával.

Vraťme se však k našemu koktejlovému večírku a přibližme si teorii grafů prakticky. Začněme s velkým počtem izolovaných uzlů. Pak uzly náhodně spojujme vazbami čili vlákny, což bude představovat náhodná setkání hostů. Přidáme-li jen několik málo spojů, dosáhneme pouze toho, že některé uzly budou spojeny po dvou. Budeme-li dodávat další vlákna, nutně spojíme navzájem některé z těchto párů a vytvoříme tak shluky několika uzlů. Když však přidáme tolik vláken, že na každý uzel bude připadat v průměru jedno vlákno, brzy se objeví jediný gigantický shluk. Většina uzlů se stane součástí jediného shluku, takže když vyjdeme z libovolného uzlu a budeme procházet podél vláken, které je spojují, můžeme se dostat do kteréhokoli jiného uzlu. V tomto okamžiku se také vaše drahé víno ocitne v nebezpečí, protože jakákoli zvěst se může dostat ke každému, kdo patří ke gigantickému shluku.

Matematici tomu jevu říkají, že se objevila gigantická komponenta, tedy taková, která zahrnuje značnou část všech uzlů. Fyzici pro to mají termín perkolace a vysvětlí vám, že jste byli právě svědky fázového přechodu, podobného zmrznutí vody. Sociologové vám řeknou, že vaše subjekty právě vytvořily společenství. Ačkoli různé obory mohou pracovat s různou terminologií, všechny jsou zajedno v tom, že když v síti náhodně vybíráme a spojujeme dvojice uzlů, děje se něco zvláštního: poté co rozmístíme kritické množství vláken, síť se dramaticky změní. Předtím jsme měli hromadu malých izolovaných shluků uzlů, oddělených skupin lidí komunikujících pouze uvnitř jednoho shluku, potom máme gigantický shluk, v němž se propojili téměř všichni.

Zdroj: Albert-László Barabási, V pavučině sítí


komentářů: 1         



Komentáře (1)


Vložení nového příspěvku
Jméno
E-mail  (není povinné)
Název  (není povinné)
Příspěvek 
PlačícíÚžasnýKřičícíMrkajícíNerozhodnýS vyplazeným jazykemPřekvapenýUsmívající seMlčícíJe na prachySmějící seLíbajícíNevinnýZamračenýŠlápnul vedleRozpačitýOspalýAhojZamilovaný
Kontrolní kód_   

« strana 1 »

Lucifer
1
Lucifer * 26.07.2012, 23:43:50
Všichni žijeme v pavučině sítí, jen si to někdy neuvědomujeme, a pavouk měsíc spřádá další sítě...

Nevinný

«     1     »