Každý z nás je součástí jednoho velkého propojeného shluku, celosvětové sociální sítě, z níž nikdo nemůže uniknout. Neznáme všechny lidi na planetě, ale je jisté, že v této lidské pavučině existuje spojnice mezi každými dvěma z nás. Podobně existuje cesta mezi každými dvěma neurony v našem mozku, mezi každými dvěma firmami na světě, mezi každými dvěma chemickými sloučeninami v našem těle. Jak bylo v předchozí části V pavučině sítí - v říši náhody II řečeno, Paul Erdős a Alfréd Rényi došli k závěru, že stačí jedna vazba na jeden uzel, a všichni můžeme být spojeni. Lucifer
Jednička představuje mezní hodnotu. Mají-li uzly v průměru méně než jeden spoj, pak se naše síť rozpadá v drobné nekomunikující shluky. Máme-li více než jedno spojení na jeden uzel, pak nám takové nebezpečí nehrozí. Příroda neustále a výstředně překračuje toto minimum jedné vazby. Sociologové odhadují, že známe jménem něco mezi 200 a 5 000 lidmi. Průměrný neuron je spojen s desítkami jiných, některé s tisíci. Každá firma je zákonitě spojena se stovkami dodavatelů a zákazníků. Většina molekul v našem těle se účastní mnohem více než jen jedné reakce; některé, jako třeba voda, až stovek reakcí. Reálné sítě nejenže jsou propojené, ale jsou i daleko za hranicí jedné vazby. Teorie náhodných sítí nám říká, že když průměrný počet vláken na jeden uzel roste nad kritickou hodnotu jedna, počet uzlů, které zůstávají mimo gigantický shluk, exponenciálně klesá. Z toho všeho plyne, že sítě kolem nás nejsou obyčejné pavučiny. Jsou to velice husté sítě, z nichž nic nemůže uniknout a v nichž se můžeme dostat ke kterémukoli z uzlů. Právě proto neexistují ostrovy s lidmi naprosto izolovanými od zbytku společnosti a právě proto jsou všechny molekuly v našem těle zapojeny do jednotné komplexní buněčné mapy. Proto také zvěst apoštola Pavla dostihla lidi, s nimiž se on sám nikdy nepotkal, a proto se také MafiaBoy dostal do titulků novin: podél vláken sítě jejich aktivita snadno zasáhla miliony (viz V pavučině sítí). Objev Erdőse a Rényiho, že existuje tento velice zvláštní okamžik, kdy se při fázovém nebo perkolačním přechodu vytvoří gigantický shluk, byl pro teorii grafů zásadní, Ne však kvůli neuvěřitelné předpovědi, že stačí jediná známost k tomu, aby se vytvořila komunita, ale spíš proto, že před Erdősem a Rényim se teorie grafů nezabývala koktejlovými dýchánky, sociálními sítěmi nebo náhodnými grafy. Zaměřovala se téměř výlučně na pravidelné grafy, jejichž struktura je zcela jednoznačná. Když se však dostaneme k takovým komplexním systémům, jako je internet či buňka, pravidelné grafy budou spíše výjimkou než pravidlem. A právě Erdős a Rényi jako první rozpoznali, že reálné grafy, od sociálních sítí po internet, nejsou úhledně pravidelné, ale naopak beznadějně komplikované. V pokoře před jejich složitostí předpokládali, že tyto sítě jsou náhodné. Ve zpětném pohledu nepřekvapuje, že právě tato neobvyklá dvojice matematiků provedla převrat v zavedeném odvětví matematiky, když do něho vložila náhodnost. Náhoda a nahodilost se v jejich životě uplatňovala velmi často. Ačkoli Rényi byl o sedm let mladší než Erdős, poznali se v Budapešti díky přátelství svých rodičů. Než po setkání roku 1948 v Amsterdamu začali pracovat společně, zažívali oba dosti bouřlivé období. Kvůli zákonům o směrných číslech, které omezovaly počet Židů přijatých na vysokou školu, pracoval Rényi po střední škole v loděnici. Poté co vyhrál soutěž v matematice a řečtině, dovolili mu v roce 1939 zapsat se na univerzitu. Brzy poté co ukončil studia matematiky, byl poslán do tábora nucených prací, odkud se mu nějak podařilo uprchnout. Erdős a jeho kolegové, kteří věděli o Rényiho činnosti v odboji během války, jej hluboce obdivovali a vážili si ho. Rényi se neohroženě převlékal do uniformy Šípových křížů, maďarských fašistů, aby pomáhal svým přátelům k útěku z koncentračního tábora. Podle jednoho svědectví pronikl do budapešťského ghetta oblečený jako voják Šípových křížů a podařilo se mu odtamtud dostat své rodiče. Až do konce války byly Rényiho možnosti věnovat se matematice velmi omezené. Teprve roku 1946 odcestoval do Petrohradu (tehdy Leningrad), aby pokračoval ve svých studiích. Tam jeho tvůrčí aktivita explodovala. Nejenže se naučil a vstřebal v rekordním čase teorii čísel, ačkoli uměl jen špatně rusky, ale dokázal také několik základních vět týkajících se proslulého obtížného problému teorie čísel, takzvané Goldbachovy hypotézy. (Goldbachova hypotéza říká, že každé sudé číslo větší nebo rovné 4 se dá napsat jako součet dvou prvočísel. Dosud nebyla ani dokázána, ani vyvrácena.) Amsterdamské setkání Erdőse a Rényiho bylo začátkem velmi těsného přátelství a spolupráce, která vyústila ve více než třicet společných publikací, jíž ukončila až Rényiho předčasná smrt roku 1970 ve věku čtyřiceti devíti let. Jak do problémů teorie grafů zakomponovali náhodnost, nejlépe uvidíme, když se podíváme na počet vláken, které vycházejí z uzlů grafu či sítě. Pravidelné grafy se vyznačují tím, že každý uzel má přesně týž počet vláken. U dvourozměrné pravidelné sítě navzájem kolmých čar, tvořících jednoduchou čtvercovou mřížku, vycházejí samozřejmě z každého uzlu přesně čtyři vlákna. U šestiúhelníkové mřížky včelí plástve je zase každý uzel spojen právě s třemi jinými uzly. Náhodné grafy přirozeně postrádají takovou pravidelnost. Výchozí bod modelu náhodné sítě je nanejvýš rovnostářský: vlákna se rozmísťují zcela náhodně. Všechny uzly mají stejnou šanci se připojit - některé se připojí vícekrát než jiné, jiné mohou mít zase smůlu, že se nějakou dobu nepřipojí vůbec. Náhodný svět Erdőse a Rényiho dokáže být zároveň nespravedlivý i štědrý: někoho může přivést na mizinu, z jiného zas udělá boháče. Přesto však dalekosáhlá předpověď Erdősovy a Rényiho teorie říká, že navzdory naprosto náhodnému rozmísťování vláken budou téměř všechny uzly mít přibližně stejný počet vláken. Jednou z metod, jak se o tom lze přesvědčit, je zeptat se všech hostů odcházejících z večírku, s kolika lidmi se tam seznámili. Až všichni odejdou, můžeme si narýsovat histogram neboli sloupcový diagram, znázorňující, kolik hostů má jednoho, dva či přesně k nových známých. Tvar tohoto histogramu pro Erdősův a Rényiho model náhodné sítě odvodil a matematicky dokázal roku 1982 jeden z Erdősových studentů, Béla Ballobás, profesor matematiky na univerzitě v Memphisu ve Spojených státech a na Trinity College ve Velké Británii. Výsledek ukazuje, že histogram se řídí Poissonovým rozdělením, vyznačujícím se některými speciálními vlastnostmi. Jedním z nich je výrazné maximum, což znamená, že většina uzlů má právě průměrný počet vláken. Po obou stranách maxima rozdělení rychle klesá a v důsledku toho jsou odchylky od průměru extrémně vzácné. Vrátíme-li se k příkladu společnosti obnášející 6 miliard lidí, říká nám Poissonovo rozdělení to, že většina z nás má zhruba stejný počet přátel a známých. Předpovídá, že pravděpodobnost nalezení někoho, kdo se odchyluje od průměru tím, že má podstatně více nebo podstatně méně vazeb než průměrný člověk, je exponenciálně malá. Teorie náhodných grafů tedy předpovídá, že když rozdělíme sociální vazby náhodně, dostaneme extrémně demokratickou společnost, kde jsme skoro všichni průměrní a kde je velmi málo těch, kdo se odchylují od normy svým nadmíru společenským nebo krajně asociálním chováním. Není pochyb o tom, že společnost, buňka, komunikační sítě a ekonomie jsou systémy dostatečně složité, aby se na ně tato úvaha vztahovala. Možná si už ale říkáte, že v tomto náhodném světě, kde jsou si všechny uzly rovny, něco nehraje. Většina z nás cítí, že nežijeme v takovém náhodném světě a že v pozadí těchto komplexních systémů musí být nějaký řád. Proč se potom takové mimořádné intelektuální kapacity, jako byl Erdős s Rényim, rozhodly modelovat vznik sítí jako zcela náhodný proces? Odpověď je zcela nabíledni. Nikdy neplánovali vytvořit univerzální teorii formování sítí. Mnohem více je přitahovala matematická krása náhodných sítí než schopnost modelu věrně zachytit pavučiny, které kolem nich utkala příroda. Erdős by byl první, kdo by s námi souhlasil, že reálné sítě se musí organizovat podle odlišných principů než model náhodné sítě, který zavedli roku 1959. Pro něj to ale bylo vedlejší. S pomocí předpokladu náhodnosti otevřel okno do nového světa, jehož matematická krása a jednolitost byla hlavní hnací silou následující práce v teorii grafů. Erdős byl přeborníkem v předkládání dobrých problémů a dokázal přimět ostatní, aby je vyřešili. Ačkoli nikdy neměl víc majetku než jen tu trochu šatstva, která s emu vešla do malého koženého kufříku, s nímž vždycky cestoval, často nabízel peněžní odměny za řešení či důkaz problémů, které mu připadaly zajímavé: 5 dolarů za problém, který považoval za snadný, 500 za nějaký skutečně těžký. Nezáleží na tom, že často se problém za dolar ukázal mnohem složitější než pětisetdolarový. Šťastní matematici, kteří získali některou z jeho cen, stejně nikdy nešli s jeho šekem do banky. Většina z nich si ho nechala zarámovat. Výhra totiž znamenala uznání od vůdčího matematického génia století. Žádný peněžní obnos se nemohl vyrovnat jeho duchovní ceně. Jak tedy vypadají reálné sítě? Taková vágní formulace problému by asi Erdőse neuspokojila. Je příliš široká. Možná ani nemá jednoznačnou odpověď. A s největší pravděpodobností nemůžeme nikdy poskytnout matematicky přesný důkaz. A tak by se nejspíš nemohla objevit v Transfinitní knize, konečném depozitáři v Erdősově světě všech dobrých matematických důkazů a teorémů. Ale i kdyby tato otázka nezískala jeho uznání, ukazuje se, že mimo svět matematiky je tomu úplně jinak. Zdroj: Albert-László Barabási, V pavučině sítí
01.08.2012, 00:00:48 Publikoval Luciferkomentářů: 0